Question

我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形，某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法；

如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得，化简得.因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）.

①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图（只要画出一种图形即可）；

②如用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗?若能，请在方格纸中画出密铺的设计图.

Answer

见解析

【解析】本题考查了平面镶嵌的条件

①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，能进行密铺，说明一个顶点处的各内角之和为360°；

②任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，即每个角放在同一顶点处使用2次．

①用x个正三角形，y个正方形进行镶嵌，可得，即，因为都是正整数，所以只有当时上式才成立，即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺.

拼法如图；

②正确图形如图所示.