Question

在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）如图1，请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数	3	4	5	6	…
正多边形每个内角的度数

（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

Answer

（1）60°，90°，108°，120°，（2）正三角形、正方形、正六边形；（3）答案不唯一，如正方形和正八边形，正三角形和正十二边形．

【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．（1）利用正多边形一个内角=180- 求解；

（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；

（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．

【解析】
（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形的每一个内角为：

60°，90°，108°，120°，…；

（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；

（3）如：正方形和正八边形（如图），

设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，

那么m，n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解．

即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，

∴符合条件的图形只有一种．