Question

已知：平行四边形ABCD中，AC和BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，HG过O点交AB于H，交CD于G。如果EF平分∠AOD，HG平分∠AOB。

求证：EHFG为菱形

Answer

见解析

【解析】本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的性质、菱形的判定

根据EF平分∠AOD，HG平分∠AOB可得，，由平角的定义可得即HG⊥EF，再根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，BO=OD，根据平行四边形的对边平行可得∠DAO=∠BCO，∠ABO=∠ODC，即可证得△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG，从而得到OE=OF，OH=OG，先根据对角线互相平分证得四边形EHFG为平行四边形，再由对角线HG⊥EF即可证得菱形。

∵OE平分∠AOD    ∴

∵OH平分∠AOB      ∴

∵∠AOD+∠AOB=180°

∴即HG⊥EF。

∵ABCD为平行四边形  ∴OA=OC   BO=OD

AD∥BC   AB∥CD

∴∠DAO=∠BCO    ∠ABO=∠ODC

∴△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG

∴OE=OF   OH=OG

    ∴HFGE为菱形。