Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：

①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

Answer

（1）直线AB的解析式为．

（2）．

（3）①．

②或．

【解析】（1）由题意可得A（3，0），B（0，4），根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）过点Q作QF⊥AO于点F.证得△AQF∽△ABO，根据对应边成比例得，即得，从而得到△APQ的面积S与t之间的函数关系式；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．①当DE∥QB时，可得PQ⊥QB，则四边形QBED是直角梯形，证得△APQ ∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例得，即得结果；

②当PQ∥BO时，可得DE⊥BO，则四边形QBED是直角梯形．证得△AQP ∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例得 ，即可求得结果； 

（4）分情况讨论。