Question

21.已知圆O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若圆O的半径为R.

求证：AE·AF＝2 R.

Answer

见解析

【解析】连接BE，根据圆周角定理可的∠AEB=90，再有AB⊥CD，公共角∠A，即可证得△AOF∽△AEB，根据相似三角形的对应边成比例即得结果。

【解析】
如图，连接BE，

∵AB为⊙O的直径

∴∠AEB=90°

∵AB⊥CD

∴∠AOF=90°

∴∠AOF=∠AEB=90°

又∠A=∠A

∴△AOF∽△AEB

∴AE•AF=AO•AB

∵AO=R，AB=2R

所以AE•AF=2R2．