Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.

①试说明AC＝EF；

②求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer

见解析

【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定

①由△ABE是等边三角形可得AB＝AE，∠BAE＝60°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，可得∠ABC＝60°

即可得到∠ABC＝∠BAE，再有EF⊥AB，，即可根据AAS证得△ACB≌△EFA，即得结果；

②由△ACD是等边三角形可得AC＝AD，∠DAC＝60°，即可证得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结果。

①∵△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝60°.

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAE.

∵EF⊥AB，

∴∠EFA＝∠ACB＝90°，

∴△ACB≌△EFA(AAS)，

∴AC＝EF.

②∵△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD，∠DAC＝60°.

又∵AD＝EF，∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA.

∴AD∥EF

∴四边形ADFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．