Question

已知OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥BC，C为OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD，交OC过于点E。

（1）求证：CD=CE;

（2）若将图1中的半径OB所在的直线向上平行移动，交⊙O于，其他条件不变，如图2，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？

Answer

见解析

【解析】

试题分析：(1) 连接OD，则OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°，在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，再由OA=OD根据等边对等角可得∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，即可得到结论；

（2）将原来的半径OB所在直线向上平行移动，可得CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，

连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，再由OA=OD根据等边对等角可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，即可知结论仍然成立．

（1）△CDE是等腰三角形．理由如下：

连接OD，则OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；

在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，

在⊙O中，∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，

又∵∠AEO=∠CED，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE，

即△CDE是等腰三角形；

（2）结论仍然成立．理由如下：

∵将原来的半径OB所在直线向上平行移动，

∴CF⊥AO于F，

在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，

连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，

故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，

又∵∠AEF=∠CED，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE．

故△CDE是等腰三角形．

考点：本题考查的是圆的综合应用，等腰三角形的判定与性质