Question

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

  （1）求证：AP=PD；

（2）请判断A，D，F三点是否在以P为圆心，以PD为半径的圆上？并说明理由；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．

（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

（3）利用等弧所对的弦相等，得出AD的长度，再根据勾股定理得出AB的长度，然后得出园的半径，再根据相似直角三角形对应对成比例竿出DE的长度.

【解析】
(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD 

∴∠DAC ＝∠DBA        ∵AB为直径，    ∴∠ADB＝90° 

又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° 

∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 

∴PD＝PA     ………………………………………………4分

(2）A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上

∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD                    

∴PD＝PF   ∴PA＝PD= PF 

即  A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上…………….8分

（3）⊙O的半径是2.5；DE的长是2.4

考点：确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．