Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

 

⑴求证：CE＝CF；

⑵若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

Answer

（1）见解析；（2）成立。

【解析】

试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证GE=BE+GD成立．

⑴证明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．

⑵【解析】
GE＝BE＋GD成立．

∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴EG＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质