Question

如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．

（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是       形；

（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是       形；

（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是       形，证明你的结论(仅需证明第⑶题结论)．

Answer

（1）矩形；（2）菱形；（3）正方形 

【解析】

试题分析：根据题意，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF是平行四边形，

在（1）中，∠BAC=90°，即AE⊥ED，即可证得结论；

在（2）中，由角平分线的性质与平行线的性质，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质即可证得结论；

在（3）中，将（1）（2）条件合并，即有AE⊥ED且AE=ED，由平行四边形的性质即可证得结论．

（1）根据题意，DE∥AC，DF∥AB，

则四边形AEDF是平行四边形，

又由∠BAC=90°，可得AE⊥ED，

即四边形AEDF是矩形；

（2）根据题意，DE∥AC，DF∥AB，

则四边形AEDF是平行四边形，

又由AD是△ABC的角平分线，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，

则AE=ED，即四边形AEDF是菱形；

（3）根据题意，DE∥AC，DF∥AB，

则四边形AEDF是平行四边形，

又由∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，

由（1）、（2）可得，AE⊥ED且AE=ED，

则四边形AEDF是正方形．

考点：本题考查特殊平行四边形的判定