Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）判断线段AC与AE是否相等，并说明理由；

（2）求过A、C、D三点的圆的直径．

Answer

（1）AC＝AE；（2）

【解析】

试题分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD为直径，再根据AD是△ABC的角平分线，可得，即得，即可证得结论；

（2）先跟勾股定理求得AB的长，从而得到BE的长，证得△ABC∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长，再根据勾股定理即可求得结果。

（1）∵∠ACB＝90°， 

∴AD为直径，   

又∵AD是△ABC的角平分线，

∴，

∴，

∴在同一个⊙O中，AC＝AE；    

（2）∵AC=5，CB=12，

∴AB=，

∵AE=AC=5，

∴BE=AB-AE=13-5=8，       

∵AD是直径，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△DBE，   

∴，

∴DE＝ ， 

∴AD＝ 

∴△ACD外接圆的直径为．

考点：本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理