Question

已知正方形ABCD中，边长为4，E为AB边上的一动点，（E与A，B点不重合），设AE=x，以E为顶点的内接正方形的面积为y，求y与x的函数关系式，当x为何值时内接正方形的面积最小．

Answer

．当时，内接正方形的面积最小

【解析】

试题分析：此题利用正方形的性质，求得△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，再利用勾股定理列出函数关系式就可以解决问题．

如图，

∵ABCD与EFGH均为正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D，EF=FG=GH=HE，

∠DHG+∠AHE=∠DHG+∠DGH=∠BEF+∠AEH=∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠GFC=90°，

∴∠AHE=∠DGH=∠GFC=∠BEF，

∴△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，

设AE=x，则BF=CG=DH=x，

BE=CF=DG=AH=4-x，

EF2=BE2+BF2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16，

∴y=S正方形EFGH=EF2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8，

∴y与x的函数关系式为：y=EF2=2x2-8x+16，

当且仅当x=2，即E为AB中点时取最小值8．

考点：本题考查的是正方形的性质、三角形全等及二次函数的最值