Question

如图，在直角坐标系中，，，以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD.

（1）求C、M两点的坐标；

（2）连结CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；

（3）在x轴上是否存在一点Q，使周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）C（8，10），M（0，4）；（2）相切；（3），

【解析】

试题分析：（1）因为ABCD为正方形，且边长为10，所以易得C点坐标；连接PM，根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标；

（2）根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形，得∠PMC=90°，从而判断相切；

（3）因CM长度固定，要使△QMC周长最小，只需PM+PC最小．作M关于x轴的对称点M′，连接CM′，交x轴于Q点，根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点．

（1）∵A（﹣2，0），B（8，0），

∴AB=10，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC=AB=10，

∴C（8，10），

连接MP，PC，

在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，

∴OM=4，即M（0，4）；

（2）在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，

∴CP2=125．

在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，

∴CM2=100，

∵100+25=125，

∴在△CMP中，CM2+MP2=CP2，

∴∠CMP=90°．

即：PM⊥CM．

∴CM与⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周长最小，即要使MQ+QC最小．故作M关于x轴对称点M’，连CM’交x轴于点Q，连MQ，此时，△QMC周长最小．

∵C（8，10），M'（0，﹣4），

设直线CM'：y=kx+b（k≠0）

∴，解得 

∴．

∴Q（，0）

∵x轴垂直平分MM’，

∴QM=QM'，

∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．

在△CEM'中，CE=8，EM'=14

∴

∴△QMC周长最小值为．

∴存在符合题意的点Q，且

此时△QMC周长最小值为．

考点：本题考查了坐标系内求点的坐标、切线的判定、利用作图求最小值