Question

在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：

若，则点与点的非常距离为；

若，则点与点的非常距离为；

例如：点（1，2），点（3，5），因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．

（1）已知点A（，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．

（2）已知C是直线上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．

Answer

（1）①B（0，2）或（0，-2）；②；

（2）①最小值，C（，）；②最小值1，E（，），C（，）

【解析】

试题分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值；

②设点B的坐标为（0，y）．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为；

（2）①设点C的坐标为（，）．根据材料“若，则点P1与点P2的“非常距离”为”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标；

②当点E在过原点且与直线垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（，）．解答思路同上．

（1）①∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，y）,

，

解得，y=2或y=-2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；

②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若，则点P1与点P2的“非常距离”为”解答，此时|=．即AC=AD，

∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点C的坐标为（，），

，

解得，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，

此时C（，）；

②E（，）

，

解得，

则点C的坐标为（，），

最小值为1．

考点：本题考查了一次函数的应用