Question

如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E,F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为___________。

Answer

5

【解析】

试题分析：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．

设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN=PE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，

∵E为AB的中点，

∴N在AD上，且N为AD的中点，

∵AD∥CB，

∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，

∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，

∴AN=CF，

在△ANP和△CFP中

∠ANP=∠CFP，AN=CF，∠NAP=∠CFP，

∴△ANP≌△CFP（ASA），

∴AP=CP，

即P为AC中点，

∵O为AC中点，

∴P、O重合，

即NF过O点，

∵AN∥BF，AN=BF，

∴四边形ANFB是平行四边形，

∴NF=AB，

∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，

∴AC⊥BD，OA=4，OB=3，

，

则PE+PF的最小值为5.

考点：本题考查了轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质