Question

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

Answer

（1）见解析      （2）见解析    （3）5

【解析】

试题分析：1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

证明：∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，

∴△ADE∽△ABD，

同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，

∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，

∴．

∵BD=CD，

∴．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，

∴AD=8

∴S△ABC=BC?AD=×12×8=48．

S△DEF=S△ABC=×48=12．

又∵AD?BD=AB．DH，

∴DH===，

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD  

∵DG⊥EF，DH⊥BF，

∴DH=DG=．

∵S△DEF=×EF×DG=12，

∴EF==5．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．