Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：

（1）CG=BH；

（2）FC²=BF?GF；

（3）=．

Answer

（1）△ABH≌△BCG，∴CG=BH   （2）△CFG∽△BFC，∴=，即FC2=BF?GF

（3）∵AB=BC，∴AB2=BG?BF（具体过程见解析）

【解析】

试题分析：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，

∴CG⊥BF，

∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，

∠BAH+∠ABH=90°，

∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，

AB=BC，

∴△ABH≌△BCG，

∴CG=BH；

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，

∴△CFG∽△BFC，

∴=，

即FC2=BF?GF；   

（3）由（2）可知，BC2=BG?BF，

∵AB=BC，

∴AB2=BG?BF，

∴==，

即=．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．