Question

如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；

（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）1：36     （2）y=6﹣x     （3）y=6（n﹣1）﹣x

【解析】

试题分析：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，x=EF，

∴EF∥BC，且EF=BC，

∴△EDP∽△CDB，

∴=，

∴S△DPE：S△DBC=1：36；

（2）如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；

不妨设EQ=kCQ=ka（k＞0），则DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．

过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N，

∵BQ平分∠CBP，

∴QM=QN．

∴，

又∵，

∴，即 ①

∵EP∥BC，∴，即 ②

∵EP∥BC，∴，即 ③

由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④

当CQ=CE时，k=1，

故y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x．

（3）当CQ=CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x；

当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n﹣1）﹣x．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形中位线定理．