Question

如图：已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD=nDA，连线段BD，M为线段BD上一点，∠AMD=60°，AM交BC于E．

（1）若n=1，则=　　．=　　；

（2）若n=2，求证：BM=6DM；

（3）当n=　　时，M为BD中点．

（直接写结果，不要求证明）

Answer

（1）1  2 （2）见解析 （3）

【解析】

试题分析：（1）CD=nDA，当n=1时，CD=DA，据等边三角形ABC的三线合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，

又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE为∠BAC的角平分线．依据三线合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．问题得到解决．

（2）若n=2，则CD=2DA，△ABC是等边三角形，∠AMD=60°，可证明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作辅助线CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，观察①②的乘积，可得BM、DM的数量关系．

（3）由M为BD中点，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC为等边三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形对应边成比例，可得AD=，DC=，运用比例的性质合理变形，问题可求．

（1）【解析】
当n=1时，CD=DA，

∵△ABC是等边三角形，

∴BD⊥AC，∠BAC=60°，

∴∠ADM=90°，

又∵∠AMD=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，

∴AE为△ABC的中线，

∴；

在△AMD中，MD=AM，（30°角所对的直角边等于斜边的一半）

∵∠BAM=∠ABM=30°，

∴AM=BM，

∴．

（2）证明：

∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°

∠CAE+∠BAE=60°

∴∠ABD=∠CAE

又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°

∴△BAD≌△ACE（ASA）

∴AD=CE∴CD=BE

作CF∥BD交AE于F，

∴===①，==②，

∴①×②得=，

∴BM=6DM．

（3）【解析】

∵M为BD中点，

∴BM=MD，

∵△BAD≌△ACE（ASA）

∴AD=CE

∴CD=BE

∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD

∴AD=③，DC=④，

③?④得CD=AD，

∴n=．

考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定；等边三角形的性质．