Question

如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，高AD与HG的交点为M.

（1）求证：；

（2）求这个矩形EFGH的周长.

Answer

（1）根据矩形的性质可得EF∥GH，即可证得△AHG∽△ABC，从而得到结论；（2）72cm

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质可得EF∥GH，即可证得△AHG∽△ABC，从而得到结论；

（2）由（1）得，设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x，即可得到关于x的方程，解出x的值，在根据矩形的周长公式求解即可.

（1）∵四边形EFGH为矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴△AHG∽△ABC

∴；  

（2）由（1）得，设HE=x，则HG=2x，

AM=AD-DM=AD-HE=30-x

可得

解得x=12，2x="24"

所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.

考点：相似三角形的应用