Question

如图①所示，直线：与轴负半轴、轴正半轴分别交于、 两点．

（1）当时，试确定直线的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设为延长线上一点，连接，过、两点分别作于，于，若，，求的长；

（3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连交轴于点，问当点在轴上运动时，试猜想的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）直线l的解析式为y=x＋5（2）AM=4（3）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题知，k≠0．把x=0代入y=kx＋5k中，得y=5k；把y=0代入y=kx＋5k中，得x=－5．∴A（－5，0），B（0，5k），∵点B在y轴正半轴上，∴5k＞0．即OA=5，OB=5k．

∵OA=OB，∴k=1．∴直线l的解析式为y=x＋5．

（2）法1：由（1）知，k=1，∴OA=5，OB=5．∵BN⊥OQ，AM⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°．

∵BN=3，∴在Rt△BON中，．

∵MN=7，∴OM=3．∴在Rt△AMO中，．

法2：由（1）知，OA=OB．∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°，∴∠3＋∠2=90°．

∵∠AOB=90°，∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△AOM≌△OBN（AAS）．

∴AM=ON，OM=BN=3．∵MN=7∴AM=ON=4

（3）PB长为定值．

法1：如图，过点E作EC⊥y轴于C，则∵△ABE为等腰直角三角形

∴AB=BE，∠ABE=90°．由（2）法2易证，△AOB≌△BCE（AAS），∴BC=OA=5，CE=OB．

∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF，∠OBF=90°．∴BF=CE，∠PBF=∠PCE=90°．

∵∠1=∠2，∴△PBF≌△PCE（AAS），，即PB长为．

法二：由△AOB≌△BCE，可求E（－5k，5k＋5）．∵F（5k，5k），

考点：全等三角形及勾股定理等