Question

如图，抛物线＝－＋5＋经过点C（4，0），与轴交于另一点A，与轴交于点B．

（1）求点A、B的坐标；

（2）P是轴上一点，△PAB是等腰三角形，试求P点坐标；

（3）若·Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，当·Q与轴相切时，求·Q上的点到点B的最短距离．

Answer

（1）A（1，0），B（0，－4）；（2）P1（0，4），P2（0，－），P3（0，－4－）；

（3）－1

【解析】

试题分析：（1）将C代入＝－＋5＋即可求得抛物线的解折式，再把＝0与＝0代入求得的抛物线的解折式即可求得结果；

（2）先根据题意作出图形，再根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可；

（3）由题意当Q的横坐标为1或－1时成立，再代入抛物线解析式即可求得点Q的坐标，连Q1B（即AB），交⊙Q1于M. 连Q2B，交⊙Q2于N，MB和NB即为所求.

（1）将C代入抛物线的解折式得：0＝－42＋5×4＋，＝－4，所以＝－2＋5－4

令＝0，则－2＋5－4＝0，解得1＝4， 2＝1，所以A（1，0）

令＝0，则＝－02＋5×0－4＝－4，所以B（0，－4）；

（2）如图，P点有三个.

P1（0，4）

令∣P2B∣＝. 则∣0P2∣＝4－

∣P2A∣2＝∣0P2∣2＋∣0A∣2＝（4－）2＋12＝2，解得＝

P2（0，－）

∣BP3∣＝AB＝＋＝

P3（0，－4－）；

（3）当Q的横坐标为1或－1时成立

＝－12＋5×1－4＝0.  Q1（1，0）

＝－（－1）2＋5×（－1）－4＝－10，Q2（－1，－10）

连Q1B（即AB），交⊙Q1于M. 连Q2B，交⊙Q2于N，MB和NB即为所求

MB＝Q1B－Q1M＝AB－QM＝－1 

NB＝Q2B－Q2N＝－1＝－1.

考点：二次函数的综合题