Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）试判断线段BD与CD的大小关系；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

（3）若△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由．

Answer

（1）BD=CD；（2）矩形；（3）菱形

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质可得∠FAE=∠CDE，再结合∠AEF=∠DEC，AE=DE，即可证得△AEF≌△DEF，从而可以证得结论；

（2）由AF∥BC，AF=BD可证得四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可证得四边形AFBD是矩形；

（3）先根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半可证得BD=AD，再结合四边形AFBD是平行四边形可证得四边形AFBD是菱形．

（1）∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠CDE，

∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEF，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）∵AF∥BC，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴四边形AFBD是矩形；

（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，

∴BD=AD（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）．

∵四边形AFBD是平行四边形，

∴四边形AFBD是菱形．

考点：平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形的判定和性质