Question

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₁交于点K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l₁，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer

KD=DE=EF；点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，

△MCK为等腰三角形.      

【解析】

试题分析：（1）解法1：由题意易知：△BOC∽△COA，

∴，即，∴，

∴点C的坐标是（0，），                           2分

由题意，可设抛物线的函数解析式为，

把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，

得，解这个方程组，得，

∴抛物线的函数解析式为． .4分

（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．

理由如下：

可求得直线l1的解析式为，

直线l2的解析式为，

抛物线的对称轴为直线x=-1，                                 6分

由此可求得点K的坐标为（﹣1，），

点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0）.

∴KD=，DE=，EF=，

∴KD=DE=EF．                                                8分

（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．

理由如下：

（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），

又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，

∴△CGK为正三角形

∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），            10分

（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，

∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，）， .12分

（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，

但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，

综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，

△MCK为等腰三角形.      

考点：相似三角形的判定