Question

如图：等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．

（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；

（2）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE=2DO₂；

（3）在（2）的条件下，若，求的值．

Answer

（1）根据等圆的性质可得，即可证得结论；（2）根据菱形的性质可得∠=∠，根据CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径可得∠=∠=90°，即可证得△ACE∽△AO2D，根据相似三角形的性质求解即可；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据等圆的性质可得，即可证得结论；

（2）根据菱形的性质可得∠=∠，根据CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径可得∠=∠=90°，即可证得△ACE∽△AO2D，根据相似三角形的性质求解即可；

（３）根据菱形的性质可得∥，即可证得△ACD∽△，再根据相似三角形的性质及求解即可．

（1）∵⊙O1与⊙O2是等圆,

∴

∴四边形是菱形；

（2）∵四边形是菱形  

∴∠=∠

∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径

∴∠=∠=90°

∴△ACE∽△AO2D 

∴，即；

（３）∵四边形是菱形

∴∥ 

∴△ACD∽△

∴  

∴

∵    

∴． 

考点：圆的综合题