Question

如图，在扇形中，半径长，;以为直径作半圆，点是弧上的一个动点，与半圆交于点，⊥于点，与交于点，连结.

 

（1）求证：；

（2）设, ，试求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）若点落在线段上，当∽时，求线段的长度.

Answer

（1）连结AD，根据圆的基本性质可得AD=AB，再根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可证得结论；（2）y＝，0≤x≤10；（3）

【解析】

试题分析：（1）连结AD，根据圆的基本性质可得AD=AB，再根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可证得结论；

（2）在Rt△ADG中，根据勾股定理可表示出DG的长，再证得Rt△AFG∽Rt△DBG，根据相似三角形的性质即可证得结论；

（3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时，由Rt△AFG∽Rt△ABC，可证得Rt△FOG∽Rt△AFG，再根据相似三角形的性质求解即可.

（1）连结AD

∵点D、B在弧BE上

∴AD=AB

∵点C在半圆O上，AB为半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，

∴DC＝BC；

（2）∵AD=AB=10，AG=x，

∴BG=10-x，

∵DG⊥AB于点G，

∴在Rt△ADG中，DG2=AD2-AG2=100-x2，

∴DG=

∵∠CAB+∠B＝∠D+∠B＝90°，

∴∠FAG＝∠D，

∴Rt△AFG∽Rt△DBG，

∴FG/AG=BG/DG，

∴FG/x="(10-x)/" ，

∴FG="x(10-x)/"

则y＝FG2=.

其中x的取值范围为0≤x≤10；

（3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时，

∵Rt△AFG∽Rt△ABC，

∴Rt△FOG∽Rt△AFG，

∴FG2=AG·OG=x（x-5），

∴=x（x-5），解得：x=

经检验可知：AG=.

综上所述，当△FOG∽△ABC时，AG＝.

考点：圆的综合题