Question

D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，点O所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）

Answer

（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；

（2）解法一：点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．

解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．

解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；

（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.

（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．

∴DE∥BC，DE＝BC．

同理，GF∥BC，GF＝BC．

∴DE∥GF，DE＝GF．

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解法一：点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．

解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．

解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．

考点：三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定