Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．

求：（1）C点的坐标为          ；

（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？

（3）①求△HCR面积S与t的函数关系式；

②并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的值．

Answer

（1）（4，1）；（2）t＝2或t＝3；（3）（3）①S＝－t2＋2t（0＜t≤4），S＝t2－2t（t＞4）；

②t＝4.5，S＝或t＝，S＝或t＝，S＝．

【解析】

试题分析：（1）作CQ⊥x轴，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即有∠CBQ＝∠OAB，从而可以证得△AOB≌△BQC，即得CQ＝OB，BQ＝OA，再结合A（0，3），B（1，0）求解即可；

（2）由P是正方形的对称中心可求得点P的坐标，即可得到∠MOB、∠AON的度数，再根据路程、速度、时间的关系表示出OR、OH的长，即可得到RH∥y轴，即R、H的横坐标相同，根据平行线的性质可得∠DMR＝∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，从而可以求得结果；

（3）①由R速度为，H速度为1，且∠ROH＝45°可得tan∠ROH＝1，根据RH始终垂直于x轴可得RH＝OH＝t， 设△HCR的边RH的高为h，再分0＜t≤4与t＞4两种情况根据三角形的面积公式求解；

②以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：Ⅰ．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR；Ⅱ．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合；Ⅲ．当AC和BR是梯形的底时，根据梯形的性质及一次函数的性质求解即可．

（1）作CQ⊥x轴，

∵正方形ABCD，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CBQ＝∠OAB，

∴△AOB≌△BQC，

∴CQ＝OB，BQ＝OA，

∵A（0，3），B（1，0），

∴BQ＝3，CQ＝1，

∴OQ＝4，

∴C（4，1）；

（2）∵P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），

∴P（2，2）；

∴∠MOB＝45°，

∴∠AON＝45°，

∵点R从O出发沿OM方向以个单位，每秒速度运动，运动时间为t，

∴OR＝t，OH＝t．

∴RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；

∵AB∥CD，

∴∠DMR＝∠ANO，

若△ANO与△DMR相似，则∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，

①当∠MDR＝45°时，R、P重合，∵R（2，2），∴t＝2；

②当∠DRM＝45°时，DR∥y轴，∵D（3，4），∴R（3，3），∴t＝3，

∴当t＝2或t＝3时，△ANO与△DMR相似；

（3）①∵R速度为，H速度为1，且∠ROH＝45°，

∴tan∠ROH＝1，

∴RH始终垂直于x轴，

∴RH＝OH＝t， 

设△HCR的边RH的高为h，

∴h＝|4－t|．

∴S△HCR＝h?t＝|－t2＋4t|，

∴S＝－t2＋2t（0＜t≤4）；S＝t2－2t（t＞4）；

②以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：

Ⅰ．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．

如图，延长AD，使其与OM相交于点R，

∴AD的斜率＝tan∠BAO＝，

∴直线AD为：y＝＋3．

∴R坐标为（4.5，4.5），

∴此时四边形ABCR为梯形，

∴t＝4.5．S＝；

Ⅱ．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．

∴CD的斜率＝－3，且直线CD过点C，

∴直线CD为：y－1＝－3?（x－4）

∴y＝－3x＋13，

∵OM与CD交于点M（即R），

∴M为（，），

∴此时四边形ABCR为梯形，

∴t＝．S＝

Ⅲ．当AC和BR是梯形的底时，设AC的解析式是y＝kx＋b，

则，解得，

则解析式是y＝－x＋4，

设BC的解析式是y＝－x＋c，

则－1＋c＝0，解得c＝1，

则函数的解析式是y＝－x＋1，

∴R坐标（，）

∴t＝，S＝．

考点：动点问题的综合题