Question

（1）观察发现

如题（a）图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

再如题（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为     ．  

   

（2）实践运用

如题（c）图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸

如题（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

Answer

（1）；（2）；（3）如图所示：

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质及勾股定理求解即可；

（2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，先根据轴对称性证得△OBE为等边三角形，即可证得△OAE为等腰直角三角形，从而求得结果；

（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可.

（1）BP+PE的最小值；

（2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，

因为AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，

所以∠AEB=15°，

因为B关于CD的对称点E，

所以∠BOE=60°，

所以△OBE为等边三角形，

所以∠OEB=60°，

所以∠OEA=45°，

又因为OA=OE，

所以△OAE为等腰直角三角形，

所以；

（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，如图所示：

考点：轴对称-最短路线问题