Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．

（1）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数的解析式；

（2）设点P的坐标为（m，0）(m>5),过点P作x轴交（1）中的抛物线于点Q，当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用垂径定理求得线段OB和OC的长，从而求得B、C两点的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；

（2）作出图形利用相似三角形的对应边成比例列出有关未知数m的方程求解即可．

（1）连接AC，

∵以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于D、E两点．

∴AC=5、AO=3，

∴由勾股定理得：OC=OB=4

∴点B的坐标为（-4，0），点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，2）．

∵对称轴为y轴，

∴设二次函数的解析式为y=ax2+c

∴经过B、C、D三点的二次函数的解析式为；

（2）∵P的坐标为（m，0）（m＞5），

∴Q点的坐标为（m，）

∴PC=m-4，PQ=

∵以O、C、D为顶点的三角形与△PCQ相似，

①当△ODC∽△PCQ时，

解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）

②当△OCD∽△PCQ时，

解得：m=0或4（因m＞5，故舍去）

∴P点的坐标为：（12，0）．

考点：二次函数解析式的确定及垂径定理的应用