Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90^o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；（2）；（3）y的最小值为19

【解析】

试题分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长；

（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．

（1）∵CD∥AB

∴∠BAC=∠DCA 

又∵AC⊥BC，∠ACB=90o 

∴∠D="∠ACB=" 90o   

∴△ACD∽△BAC；

（2） 

∵△ACD∽△BAC

∴ ，即，解得：

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，

∴△ACB∽△EGB 

∴  即，解得 

 = =

故当t=时，y的最小值为19

考点：三角形相似，解三角形的应用