Question

如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0），

（1）求抛物线C₁的解析式；

（2）如图1，将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P，求△DBP的面积；

（3）如图2，连接AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC·（AC+EC）为定值．

Answer

（1）y=x2-2x+1；（2）3；（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再计算FC（AC+EC）为定值．

【解析】

试题分析：（1）已知顶点P的坐标，设抛物线的顶点式为：y=a（x-1）2，将点（0，1）代入即可；

（2）根据平移规律求出平移后抛物线的顶点坐标，即P（2，-1），根据顶点式，得平移后抛物线解析式y=（x-2）2-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面积；

（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再计算FC（AC+EC）为定值．

（1）∵抛物线顶点为P（1，0），经过点（0，1）

∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2，将点（0，1）代入，得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1；

（2）根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）

∴抛物线的解析式为：y=（x-2）2-1，

∴A（0，-1），B（4，3），

∴S△DBP=3；

（3）过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N

设点Q的坐标是（t，t2-4t+3），则QM=CN=（t-2）2，MC=QN=4-t．

∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，

∴QM ：EC ="PM" ：PC ，即(t-2) 2：EC ="t-1" ：2 ，

得EC=2（t-2），

∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，

∴QN ：FC ="BN" ：BC ，

即4-t ：FC ="3-(t" 2 -4t+3) ：4 ，

得FC="4" ：t ，

又∵AC=4，

∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，

即FC（AC+EC）为定值8．

考点：二次函数的综合题