Question

如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一：        ；结论二：         ；结论三：          ．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

Answer

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.

【解析】

试题分析：（1）根据平面图形的基本性质结合图形特征即可得到结果；

（2）①先证得△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形可求得AC的长，证得△ADE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得到，再根据垂线段最短的性质求解即可；

②分当AD=AE时，当EA=ED时，当DA=DE时，这三种情况，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的性质求解即可.

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，

∴△ACB为等腰直角三角形。

∴。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE：AD，

∴ 

当AD最小时， AE最小，此时AD⊥BC（直线外一点与直线上所有点的连线段中垂线段最短），AD=BC=1。

∴AE的最小值为

∴CE的最大值=；

②当AD=AE时，

∴∠1=∠AED=45°

∴∠DAE=90°

∴点D与B重合，不合题意舍去

当EA=ED时，如图1

∴∠EAD=∠1=45°

∴AD平分∠BAC

∴AD垂直平分BC

∴BD=1。

当DA=DE时，如图2

∵△ADE∽△ACD

∴DA：AC=DE：DC

∴DC=CA=

∴BD=BC－DC=2－

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－.

考点：三角形的综合题