Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E．

(1)若∠ADC+∠ABC=180°，求证：AD+AB =2AE；

(2)若AD+AB =2AE，求证：CD=CB.

Answer

(1)可求证∠ADC=∠CBM．因此，△ADC≌△MBC，AD=BM.故AM=2AE=AB+ BM=AB+AD.

（2）可求证△ADC≌△MBC.所以，CD=CB

【解析】

试题分析：(1)如图．延长AB到点M，使AE=ME．又CE⊥AB，

故△ACM为等腰三角形．因此，AC=CM，∠l=∠3．

已知∠1 =∠2，所以，∠3=∠L2.又∠ADC+∠ABC=180°，

于是，∠ADC=∠CBM．因此，△ADC≌△MBC，AD=BM.

故AM=2AE=AB+ BM=AB+AD.

(2)如图，延长AB到点M，使BM=AD.由2AE=AB+AD=AB+BM=AM,故AE=ME.

∵CE⊥AM,同（1）得AC=MC，∠2=∠3. ∵BM=AD,∴△ADC≌△MBC.从而，CD=CB.

考点：等腰三角形及全等三角形