Question

AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB

Answer

通过证明∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM． 故OP= OQ.从而，MP=MQ. 又MA=MB，所以，PA=QB.

【解析】

试题分析：如图，联结OM、OP 、OQ、OC、OD.因为PC,为0 D的切线（已知）

，M为弦AB的中点，所以OM⊥AB，垂足为点M。则∠PCO=∠PMO=90°。

根据四点共圆判定：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等，所以，P、C、M、O四点共圆．则 同理圆内接四边形的对角互补，易知∠OMB=∠ODQ=90°，所以它们对角互补。则Q、D、O、M四点共圆．所以则有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM．

易知OP=OQ.所以，MP=MQ. 又因为MA=MB，所以，PA=QB.

考点：四点共圆的判定与性质