Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，点E是AC的中点.

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）：

①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由。

Answer

（1）如下图；（2）AF∥BC，且AF=BC

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出图形即可；

（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．

【解析】
（1）如图所示：

（2）AF∥BC，且AF=BC，

理由如下：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，

由作图可得∠DAC=2∠FAC，

∴∠C=∠FAC，

∴AF∥BC，

∵E为AC中点，

∴AE=EC，

∴△AEF≌△CEB（ASA）．

∴AF=BC．

考点：基本作图，平行线的判定，全等三角形的判定和性质