Question

（2000•天津）已知△ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．

Answer

（1）由于△ABC是等腰Rt△，那么∠A=∠B=45°，由此可得△AEP、△BPF也是等腰Rt△，因此此题中相等的线段有AE=PE=CF=x，BF=PF=CE=3-x，已知了这些线段的长，即可根据各自的面积公式进行解答．
（2）在直角坐标系中作出三个二次函数的图象，结合图象，令两函数关系式相等，求出x、y的值，再依据x的取值范围，求y的范围，进而判断面积是否小于4．
【解析】
（1）△AEP的面积为，
△PFB的面积为；
矩形ECFP的面积为x（）．

（2）设y1=x2，y2=x（），y3=（）2
这三个二次函数的图象如图所示，令，
得x1=0，x2=2；
当x1=0时，y1=y2=0；当x2=2时，y1=y2=4；
∴y1和y2的交点坐标为O（0，0），A（2，4）．
由图知，在中，y1≥4，
由x（）=（）2
得x3=，x4=3；
当x3=时，y2=y3=4，
当x4=3时，y2=y3=0，
∴y2和y3的交点坐标为B（），C（），
由图知，在时，y3≥4，
在时，y2≥4，
∴在0＜x＜3中，y1，y2，y3中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．