Question

（2000•湖州）已知a，b，c是正实数，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于M，N两点，交y轴于点P，其中点M的坐标为（a+c，0）．
（1）求证：b²+c²=a²；
（2）若△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，求的值．

Answer

（1）抛物线y=x2-2ax+b2经过点（a+c，0）．因而把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）2-2a（a+c）+b2=0，整理得到b2+c2=a2；
（2）已知抛物线的解析式，就可以求出对称轴，可求N、P的坐标，从而）．△NMP的面积和△NOP的面积可求，再根据△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，可得2c=3|a-c|，即3a=5c，则的值易求．
【解析】
（1）把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）2-2a（a+c）+b2=0，
整理得到b2+c2=a2．
（2）抛物线y=x2-2ax+b2的对称轴是x=a，M，N一定关于对称轴对称，
因而N的坐标是（a-c，0）．
抛物线y=x2-2ax+b2中令x=0，
解得y=b2．则P的坐标是（0，b2）．
△NMP的面积是MN×OP=×2C×b2=b2c．
△NOP的面积是×ON×OP=|a-c|×b2．
根据△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，
得到b2c=3×|a-c|×b2，
则2c=3|a-c|，
根据b2+c2=a2，a、b、c是正实数，
则a＞c，
因而2c=3（a-c），即3a=5c，
则设a=5k，则c=3k，
根据b2+c2=a2，得到b=4k，
因而的值是．