Question

（2000•嘉兴）如图，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=Rt∠，以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至点B、C，过点M引半圆O的切线，切点是P．过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON，MN分别交于点E，F，设BM=x，．
（1）证明：∠MON是直角；
（2）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；当∠CMF=120°时，求y的值；
（3）当F、M、C为顶点的三角形与△AEO相似时，求∠CMF的度数．

Answer

（1）连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，易得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，于是得到∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM，可知∠MON是直角；
（2）由于三角形周长的比等于相似比，所以将转化为y==，AN与BM的比例关系可通过证△AON和BMO相似求得；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①∠AON与∠CMF对应相等，那么∠AOP=2∠CMF，根据∠POB+∠FMB=180°，即可求出∠CMF的度数；
②∠AON与∠CFM对应相等，那么∠POE=∠PFE，两角都加上一个对顶角后可得出∠AEO为直角，那么∠AON和∠CFM均为45°，由此可得出∠CMF的度数．
（1）证明：连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，
得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，
两式相加得∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM=180°×=90°，
∠MON是直角；

（2）【解析】
∵∠MON=90°
∴∠NOA+∠MOB=90°
又∠NOA+∠ANO=90°
∴∠ANO=∠MOB
∴△ANO∽△BOM
∴，即AN•BM=1，AN=
∵AN∥BC
∴y====-x2+2x（0＜x＜2）
因为∠CMF=120°，∠PMB=60°
所以∠OMB=30°，BM=OB=
即x=
∴y=2-3；

（3）【解析】
∵∠CAB=∠C=45°，因此分两种情况讨论：
①∠CMF=∠AOE，△AOE∽△CMF
易知∠AON=∠NOP=∠CMF，
∴∠POB=180°-2∠CMF，∠FMB=180°-∠CMF
∵∠BMF+∠POB=180°
∴180°-2∠CMF+180°-∠CMF=180°
∴∠CMF=60°；
②∠CFM=∠AEO，△CFM∽△AOE，
易知∠PON=∠AON=∠CFM
∴∠PFE=∠POE
∵∠OPF=90°
∴∠OEF=90°
∴∠AON=∠CFM=45°
∴∠CMF=90°．