Question

（2000•宁波）如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=    ．

Answer

根据相交弦定理，可得出PA•PC=BP•PD，那么可以转换成用x表示出BP，PD，那么可用相似三角形来求解，由题意可得：CD=1，BD=2，利用已知条件可以证明△ADB∽△PDC，根据相似三角形的性质得到CD：BD=PD：AD，而BD=2CD，这样就可以用x表示PD，BP，最后即可求出PA•PC与x的关系式．
【解析】
根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，
∵CD=1，BD=2
而AB=BC
∴
∴∠ADB=∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴△ADB∽△PDC
∴CD：BD=PD：AD
而BD=2CD
∴PD=x
∴BP=BD-PD=2-x
∴PA•PC=BP•PD=（2-x）×x=-x2+x．