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(2000•金华)如图,在矩形ABCD中,M是BC上一动点,DE⊥AM,E为垂足...

(2000•金华)如图,在矩形ABCD中,M是BC上一动点,DE⊥AM,E为垂足,3AB=2BC,并且AB,BC的长是方程x2-(k-2)x+2k=0的两个根,
(1)求k的值;
(2)当点M离开点B多少距离时,△AED的面积是△DEM面积的3倍?请说明理由.

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(1)根据根与系数的关系,列出方程组解答; (2)根据(1)中k的值解方程,求出AD和BC的长,然后根据相似三角形的性质解答. 【解析】 (1)根据题意列方程组得:解得, 即3k2-37k+12=0,解得k=12或k=. (2)把k=12或k=分别代入方程x2-(k-2)x+2k=0中, 当k=12时原方程可化为x2-10x+24=0, 解得x=4或x=6, ∵3AB=2BC,∴AB=4,BC=6. 当k=时原方程可化为x2+x+=0,解得x=-或x=-1(不合题意舍去). 故AB=4,BC=6, ∵△AED的面积是△DEM的高相同, ∴△AED的面积是△DEM面积的3倍则AE=3ME,设 ME=x,则AE=3x,设BM=y. 在Rt△AED与Rt△MBA中,∵∠ABM=∠AED=90°,∠AMB=∠DAE,故两三角形相似, 由勾股定理得AB2+BM2=16x2----①,解得BM=, 即=,即=----②, 整理得x4-4x2+4=0,解得x2=2,x=. 于是BM===4. 当点M离开点B的距离为4时,△AED的面积是△DEM面积的3倍.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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