Question

（2000•重庆）已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC²=AE•AB，为什么？
（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连接PB．如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由．
（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

Answer

（1）能找到一点E，使AC2=AE•AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；
（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．利用（1）的结论可以得到∠ACB=∠AEC．根据PB=PE，可以得到∠PBE=∠PEB．再利用圆内接四边形的性质和直径所对的圆周角是直角，可以证明∠PBE+∠BAE=90°，从而证明题目结论；
（3）C是PE的中点．根据切线长定理可以得到PB2=PC•PD，而E是PD的中点，可以得到PE=PD，代入PB2=PC•PD中，变换就可以得到题目结论．
【解析】
（1）能找到一点E，使AC2=AE•AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；

（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．

∵AC2=AE•AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根据（2）可以得到PB2=PC•PD．
而E是PD的中点，可以得到PE=DE．
∴PE2=（PE-CE）×2PE=2PE2-2PE•CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中点．