Question

（2001•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S．

Answer

根据等腰梯形在同一底上的两个角相等和角平分线的定义，求得∠ABC=60°，∠ACB=∠CD=30°．根据30°的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到梯形的各边之间的关系，根据周长列方程求得各边，再计算它的高，就可求得其面积．
【解析】
∵AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，
∴∠B=∠BCD=60°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°
∴∠BAC=90°
设AB=CD=x，则AD=x，BC=2x．
所以x+x+x+2x=20，x=4．
AC=AB=4
作AE⊥BC于E，则AE=AC=2．
则梯形的面积=（4+8）×2=12．
即AC的长为，梯形面积为．