Question

（2001•北京）已知抛物线经过点以点A（x₁，0）B（x₂，0），D（0，y₁），其中x₁＜x₂，△ABD的面积等于12．
（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；
（2）如果点以C（2，y₂）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．

Answer

（1）可先根据抛物线的解析式表示出A、B的横坐标，可得出AB的长，然后根据△ABD的面积为12，可求出n的值．即可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标．
（2）本题可分三种情况：
①PB=PC，设出P点的坐标，可根据坐标系两点间的距离公式或通过直角三角形用勾股定理表示出PB和PC长，根据PB=PC的等量关系即可求出P点的坐标．
②当PB=BC，③当PC=BC同①．
求出P点坐标后即可求出直线PB的解析式．
【解析】
（1）根据题意，令y=0，整理，得
x2+2（n+1）x+4n=0（n＜0），
解得x1=-2，x2=-2n，
∴AB=|x2-x1|=2-2n，又OD=|y1|=-2n．
∵S△ABD=AB•OD=12，
∴（2-2n）（-2n）=12，
解得n=3（舍去），n=-2．
∴y=-x2+x+4．
顶点坐标为（1，）．

（2）∵点C（2，y2）在这条抛物线上，D（0，4），
∴y2=4，即C（2，4），
∴∠CDO=90°，
∴∠BOD=90°．
根据题意画出示意图
①如图1，设P1（0，m1），满足P1B=P1C，其中m1＞0．由勾股定理得，
OB2+OP12=DP12+DC2，
即42+m12=（4-m1）2+22，
解得m1=，
即P1（0，），符合题意，
直线P1B的解析式为y=-x+．
②如图2，设P2（0，m2），满足P2B=BC，其中m2＞0．
由勾股定理得，
OB2+OP22=42+22，
即42+m22=42+22，
解得m2=-2（舍去），m2=2，
即P2（0，2），符合题意，直线P2B的解析式为y=-x+2．
③设P3（0，m3），满足P3C=BC，其中m3＞0，由勾股定理得，
DP32+CD2=42+22，
即（4-m3）2+22=42+22，
解得m3=0（舍去），m3=8，
即P3（0，8）．
直线P3B的解析式为y=-2x+8，
∵C（2，4）在P3B上，
∴P3不符合题意，舍去．
综上所述，直线PB的解析式为y=-x+，y=-x+2．