Question

（2001•甘肃）⊙O与⊙A相交于C、D两点，A点在⊙O上，过A点的直线与CD、⊙A、⊙O交于F、E、B．求证：AE²=AF•AB．

Answer

欲证AE2=AF•AB，即证明AC2=AF•AB．所以可以通过证明△ACF∽△ABC得出，因为∠BAC是公共角，只需再证明一个角对应相等．根据垂径定理得出弧AC=弧AD，则有∠ABC=∠ACF．
【解析】
连接AC，BC．
∵AE⊥CD，
∴弧AC=弧AD．
在⊙O中，∵弧AC=弧AD，
∴∠ABC=∠ACF．
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC．
∴AC2=AF•AB，
又AC=AE，
∴AE2=AF•AB．