Question

△ABC中AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，⊙O与AB、AC都相切，且P为切点，线段AO与⊙O交于H，过H作⊙O的切线交AB、AC于D、E，设AP=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）⊙O的内接正方形的面积能否比△ADE的面积大15？大30？为什么？

Answer

（1）根据三角形的面积公式，知y=DE•AH，求y与x的函数关系式，关键是用含x的代数式分别表示DE与AH；
（2）首先用含x的代数式表示OP，然后表示出⊙O的内接正方形的面积，最后根据条件列出方程，求出方程的解，由AB=AC=5与x的值比较，决定取舍．
【解析】
（1）延长AO交BC于F，则AF⊥BC，BF=FC=BC=3，根据勾股定理得出AF=4，
令∠BAF=∠1，则sin∠1=BF：AB=3：5，tan∠1=BF：AF=3：4
在△ADH中，∠AHD=90°
∵sin∠1=DH：AD=3：5
∴AD=DH
又∵DH、DP与⊙O分别相切于H、P，
∴DH=DP
∵AD+DP=AP
∴DH+DH=x
∴DH=x
∴AH=DH，tan∠1=x
∴y=DE•AH=DH•AH=x2；

（2）在△AOP中，∠APO=90°，
∴tan∠1=OP：AP=OP：x=3：4，
∴OP=x，
∴⊙O的半径为x，
∴⊙O的内接正方形的面积为4××（x）×（x）=x2，
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大15，则x2-x2=15，解得x=4，
∵4＜5，∴⊙O的内接正方形的面积能比△ADE的面积大15；
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大30，则x2-x2=30，解得x=4，
∵4＞5，∴⊙O的内接正方形的面积不能比△ADE的面积大30．