Question

已知关于x的方程x²+bx+1=0的两实根为α、β
（1）能否确定α²+β²与2的大小关系并说明理由．
（2）若α＞β，且以α²+β²、3α-3β、αβ为三边的三角形是等腰三角形，求b的值．

Answer

（1）配方，变为完全平方的形式比较；（2）结合等腰三角形的性质和代数式变形来解答．
【解析】
（1）∵关于x的方程x2+bx+1=0的两实根为α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
α2+β2=（α-β）2+2αβ
=（α-β）2+2≥2．
（2）∵关于x的方程x2+bx+1=0的两实根为α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
①因为α2+β2≥2，αβ=1，故α2+β2与αβ不相等；
②若3α-3β=1，
根据αβ=1，而α2+β2≥2
则（3α-3β）+αβ＜α2+β2
则不能构成三角形；
③所以3α-3β=α2+β2．
又∵α2+β2=（α+β）2-2αβ
=（-b）2-2．
所以3α-3β=（-b）2-2．
两边平方，得
9（α2+β2-2αβ）=b4-4b2+4．
9[（α+β）2-4αβ]=b4-4b2+4．
9[（-b）2-4]=b4-4b2+4．
解得b4-13b2+40=0．
b2=5，或b2=8．
∴b=±5或b=±8．