Question

（2001•海南）如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，连心线O₁O₂交⊙O₁于C、D两点，直线CA交⊙O₂于点P，直线PD交⊙O₁于点Q，且CP∥QB，求证：AC=AP．

Answer

连接AD，AB，先根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得出O1O2⊥AB，由垂径定理得出弧AD=弧BD，由圆周角定理得出∠ACD=∠BCD，则∠BQD=∠ACD；又CP∥QB，根据平行线的性质得出∠BQD=∠APD，则∠APD=∠ACD，由等腰三角形的判定即可证明出AC=AP．
证明：连接AD，AB，
∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
∴O1O2⊥AB，=，
∴∠C=∠Q，
∵CP∥QB，
∴∠Q=∠P，
∴∠P=∠C，
∴CD=PD，
∵CD是⊙O1的直径，
∴∠CAD=90°，
即DA⊥PC，
∴AC=AP．