Question

（2001•河北）某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多销售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y与x的二次函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）²+的形式．写出顶点坐标，并在图中画出草图；观察图象，指出单价定为多少时日均获利最多是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

Answer

（1）日利润=每千克的利润×日销售量-杂支．每千克利润为（x-30）元，每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，杂支为500元，所以得函数关系式．根据题意30≤x≤70；
（2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，通过画图观察图象的最高点位置就是获利最多，此时对应的x的值即为定价；
（3）销售单价最高即是每千克70元销售，日销售量60千克，全部售出需天，计算此时的利润，与日均获利最多的销售方式比较，即得结论．
【解析】
（1）设销售单价为x元，
则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，
日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元．
故y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）∵函数y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，
∴顶点坐标为（65，1950），
画出草图：
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，为1950元；

（3）当日均获利最多时：
单价为65元，日均销售60+2×（70-65）=70千克，
将这种化工原料全部销售完需7000÷70=100天，
总获利为1950×100=195000元，
当销售单价最高时，
单价为70元，日均销售60千克，
将这种化工原料全部销售完需天，
获总利为（70-30）×7000-117×500=221500元，
221500-195000=26500元，故销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元．