Question

（2001•河南）如图，△ABC，∠A的平分线交BC于D，圆O过点A且与BC相切于D，AB、AC与分别相交于E，F，AD与EF相交于G，求证：AF•FC=GF•DC．

Answer

根据要证明的线段之间的关系，显然可以构造到三角形AFG和三角形DCF中，根据弦切角定理以及圆周角定理的推论发现∠FDC=∠EFD，则EF∥BC，得到∠AFE=∠C，根据两个角对应相等得到两个三角形相似，从而证明结论．
证明：连接DF，
∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF．
∴=，即AF•FC=GF•DC．